牟合方盖,球体体积的求积法

文章作者:快乐相伴 | 2015-12-23
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  牟合方盖就是指球体的体积同样也是指求积法,其中的一项需要必备的一些研究题目。在2200多年以前,希腊的数学家阿基米德(Archimedes)就已经发现了球体体积当中的一些主要公式。在中国则要到南北朝时代才能够正确地求出球体的体积,然而通过所使用的一些方法就称之为牟合方盖。其中《九章算术》的少广章的廿三及廿四两问中有所谓开立圆术,立圆的主要意思就是一些球体,古称丸,而开立圆术即求已知体积的球体的直径的一些主要方法。其中廿四问为:“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。”从中可知,在《九章算术》内由球体的体积求球体的直径,就是把球体的体积先乘以16再除以9,然后再把所得的数开立方根求出,换言之球体体积=(9 x 直径^3)/16根据现代的一些理解,这个公式当然是错的,但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。

牟合方盖

      牟合方盖通过一些与之相关的研究而得出,当然这个结果对一些数学家而言也是极之不满的,其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这个公式开始有所怀疑:“以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多。互相通补,是以九与十六之率,偶与实相近,而丸犹伤多耳。”即是说,用π≒3来计算圆面积时,则较实际的面积要少;若按π:4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时,则球的体积又较实际多了一些。然而它们之间是可以互相通补的,但是按照9:16的一个比率来计算球和外切立方体的体积时,则球的体积较实际的要多一些。因此,当时刘徽创造了一个相当独特的立体几何图形,从而希望用这个图形以求出球体体积的公式,称之为“牟合方盖”。

      牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时,两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述:“取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸,高二寸。又复横规之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按合盖者,方率也。丸其中,即圆率也。”根据刘徽的一些理论,其实刘徽也是希望通过构作一个立体图形,它的每一个横切面皆是正方形,而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形,而这个图形就是牟合方盖,因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π:4,他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式,因为他知道牟合方盖的体积跟内接球体体积的比为4:3,只要有方法找出牟合方盖的体积便可,只可惜,刘徽始终不能解决,他只可以指出解决的方法是通过计算出外棋的体积,但由于外棋的形状复杂,所以没有成功,他无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法:“观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者。”

牟合方盖

      牟合方盖在通过祖冲之父子所考虑的这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h,三个“外?”的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a,因此根据“勾股定理”有a²=r²-h²另外,因为S=r²-a²所以S=r²-(r²-h²)=h²于所有的h来说,这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发,他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥,倒过来立着,与三个“外棋”的体积的和进行相对比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h,不难发现对于任何的h,方锥截面面积也必为h²。换句话说,虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同,但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算,而在等高处的截面面积总是相等的,所以它们的体积也就不能不是相等的了,所以祖氏云:“缘幂势既同,则积不容异。”所以外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r³/3即小牟合方盖体积= 2r³/3牟合方盖体积=16r³/3因此球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3因此这条公式也就是一个正正式式的球体体积的主要公式。

 

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